Glossar Lineare Algebra

Addition
Matrizen und Vektoren gleicher Dimension lassen sich komponentenweise addieren.
Die Addition ist kommutativ und assoziativ. Inverse Elemente und das neutrales Element existieren.

Determinante
Kennzahl, die zu einer quadratischen Matrix mit n Spaltenvektoren  - bis auf das Vorzeichen -  das Volumen des aufgespannten Vielflachs angibt. 

vol(A) = | det(A) |   ... Das Volumen ist der absolut Betrag der Determinante

FALK-Schema

Aufschreibehilfe zur Multiplikation von Matrizen

Linearkombinationen
Summe von Vielfachen gegebener Vektoren
Beispiel:  aus den Vektoren a und b lässt sich z.B. der Vektor c =   5a + 3b  linearkombinieren.
Man sagt auch: c ist eine Linearkombination von  a und b .

Lineare Abhängigkeit
DEF A:  Eine Menge von Vektoren heißt linearabhängig, wenn es Zahlen (Skalare) ungleich Null gibt mit deren Hilfe sich der Nullvektor linear kombinieren lässt.
<=>
DEF B:  In einer Menge von Vektoren, heißt ein Vektor linearabhängig, wenn er sich aus den anderen linearkombinieren lässt. Die Menge der Vektoren heißt dann linearabhängig.

Lineare Unabhängigkeit
Eine Menge von Vektoren heißt linearunabhängig, wenn sie nicht linear abhängig ist.
Das heißt:
A: Es gibt keine Zahlen ungleich Null mit deren Hilfe sich der Nullvektor linearkombinieren lässt.
B: Keiner der Vektoren lässt sich aus den anderen Vektoren der Menge linearkombinieren.

Lösen LGS oder MGL online
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm

Matrix
Liste von gleichlangen Listen.
Beispiel: Produktionsmatrix mit den „Rezepten“ in den Zeilen
Allgemein:  zweidimensionales Zahlenschema.
Die Komponenten einer Matrix sind Skalare.
Matrizen werden mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet A, B, ...

Matrixmultiplikation
Matrizen lassen sich multiplizieren, wenn die DOMINO Regel erfüllt ist.
z.B. [3x4]*[4x2] geht , Ergebnis [3x2]-Matrix

https://de.numberempire.com/matrixbinarycalculator.php

Rang einer Matrix
Der Zeilen-Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl von linearunabhängigen Zeilen in einer gegebenen Matrix A. Der Spalten-Rang ist die maximale Anzahl von linearunabhängigen Spalten.

SATZ/DEF:   Zeilenrang (A) = Spaltenrang (A) =: rang(A) 

insbesondere gilt rang(A^T)=rang(A).

Der Rang einer Matrix läßt sich bei PIVOTENDE direkt an der Anzahl der übriggebliebenen nicht-Null Zeilen ablesen.

Reeller Vektorraum der Dimension n
Axiome des Vektorraums sind erfüllt (siehe Vorlesung).
Alle möglichen Linearkombinationen sind enthalten.
Menge von Vektoren gleicher Länge n mit Komponenten aus den reellen Zahlen.

Skalar
reelle Zahl, werden mit griechischen Kleinbuchstaben bezeichnet (alpha, beta, ...)

Skalarprodukt
Vektoren gleicher Länge lassen sich multiplizieren. Das Ergebnis ist eine Skalar.
Beispiel:  Rezeptvektor * Preisliste 

Skalieren, Skalarmultiplikation, Vervielfachen
Vervielfachen eines Vektors durch Multiplikation mit einem Skalar.
Rechengesetze siehe Vorlesung.

Transponieren
von Vektoren und Matrizen
Zeilen und Spalten werden unter Beibehaltung der Reihenfolge vertauscht.

Vektor
allgemein: Elemente eine Vektorraums.
speziell: Liste von Zahlen in einer festdefinierten Reihenfolge (keine Menge!)
werden mit lateinischen Kleinbuchstaben bezeichnet a.
Besondere Matrix, besteht nur aus einer Zeile oder einen Spalte.
Heißt dann Zeilenvektor bzw. Spaltenvektor